Собственные вектора и значения матриц
Страница 2. Левый и правый собственный векторы
Страница 2 из 10
 

Левый и правый собственный векторы

Хотя собственные вектора ненормальной матрицы не всегда ортогональны между собой, они всегда образуют соотношение ортогональности с другим набором векторов, определенным ниже. До сих пор собственными векторами считались вектор-столбцы, которые умножались на матрицу. Более точно эти вектора называются правыми собственными векторами. Но можно определить и другой набор собственных векторов-строк, которые умножаются на матрицу слева и удовлетворяют равенству: xA = lx.Такие векторы называются левыми собственными векторами. Транспонируя это соотношение, можно увидеть, что каждый левый собственный вектор A совпадает с правым собственным вектором от транспозиции A. Поскольку детерминант матрицы совпадает с детерминантом от ее транспозиции, собственные значения для правых и левых собственных векторов будут одними и теми же .

Если матрица симметрична, то правый и левый собственные вектора являются транспозицией друг друга, т.е. имеют одни и те же численные компоненты. Точно также, если матрица самосопряженная, то правый и левый вектор взаимно сопряжены по Эрмиту. В общем случае ненормальной матрицы, имеется следующее соотношение. Пусть XR -- матрица, состоящая из столбцов правых собственных векторов, XL -- из строк  левых собственных векторов. По определению собственных векторов имеем:

AXR = XRdiag(l1,...,lN),  XLA = diag(l1,...,lN)XL.Умножая первое уравнение слева на XL, а второе справа на XR и вычитая одно из другого, получаем: (XLXR)diag(l1,...,lN) = diag(l1,...,lN)(XLXR).Это говорит о том, что матрица произведений левых и правых векторов коммутируема с диагональной матрицей из собственных значений. Но в том случае, когда матрица коммутируема с диагональной матрицей, состоящей из несовпадающих элементов, она сама является диагональной. Таким образом, в случае невырожденного набора собственных значений, каждый левый собственный вектор ортогонален всем правым, за исключением соответствующего ему, и наоборот. С помощью нормализации произведение матриц левых и правых векторов всегда можно привести к единичной матрице, для любого невырожденного случая.

Если некоторые из собственных значений вырождены, то либо правые, либо левые собственные векторы, соответствующие этим значениям, должны быть линейно скомбинированы между собой, чтобы в итоге образовался ортогональный базис соответственно правых либо левых собственных векторов. Это всегда можно сделать с помощью процедуры ортогонализации Грама - Шмидта. Затем можно настроить нормализацию, чтобы произведение матрицы правых и левых векторов было единичной матрицей. Если этого сделать нельзя (произведение матриц равно нулю), то система собственных векторов неполна. Заметим, что такие неполные системы могут возникать только тогда, когда набор собственных значений вырожден, но не всегда: в частности, неполные системы собственных векторов никогда не возникают в классе нормальных матриц. См. [1] для дальнейших подробностей.

В обоих случаях, вырожденном или невырожденном, нормализация произведения матриц правых и левых собственных векторов приводит к следующему результату: матрица, строками которой являются левые собственные векторы -- обратна к матрице, столбцами которой являются правые собственные векторы, если обратная матрица существует.
 
« Предыдущая статья   Следующая статья »