Программирование на языке С
Страница 84. Выбор в линейных списках

2.3.5. Выбор в линейных списках

Задача выбора. Задан линейный список целых, различных по значению чисел B=, требуется найти элемент, имеющий i-тое наибольшее значение в порядке убывания элементов. При i=1 задача эквивалентна поиску максимального элемента, при i=2 поиску элемента с вторым наибольшим значением.

Поставленная задача может быть получена из задачи поиска j-того минимального значения заменой i=n-j+1 и поиском i-того максимального значения. Особый интерес представляет задача выбора при i=a/n, 0<a<1, в частности, задача выбора медианы при a=1/2.

Все варианты задачи выбора легко решаются, если список B полностью отсортирован, тогда просто нужно выбрать i-тый элемент. Однако в результате полной сортировки списка B получается больше информации, чем требуется для решения поставленной задачи.

Количество действий можно уменьшить применяя сортировку выбором только частично до i-того элемента. Это можно сделать, напри мер при помощи функции findi

 /* выбор путем частичной сортировки */
 int findi(int *s, int n, int i)
 {
 int c,j,k;
 for (k=0; k<=i; k++) for (j="k+1;" j<="n;" j++) if (s[k] < s[j]) { c="s[k];" s[k]="s[j];" s[j]="c;" } return s[i]; } 

Эта функция ищет элемент с индексом i, частично сортируя массив s, и выполняет при этом (n*i) сравнений. Отсюда следует, что функция findi приемлима для решения задачи при малом значении i, и малоэффективна при нахождении медианы.

Для решения задачи выбора i-того наибольшего значения в списке B модифицируем алгоритм быстрой сортировки. Список B разбиваем элементом K1 на подсписки B' и B", такие, что если Ki -B', то Ki>K1, и если Ki - B", то Ki<K1, и список B реорганизуется в список B',K1,B". Если K1 элемент располагается в списке на j-том месте и j=i, то искомый элемент найден. При j>i наибольшее значение ищется в списке B'; при j<i будем искать (i-j) значение в подсписке B".

Алгоритм выбора на базе быстрой сортировки в общем эффективен, но для улучшения алгоритма необходимо, чтобы разбиение списка на подсписки осуществлялось почти пополам. Следующий алгоритм эффективно решает задачу выбора i-того наибольшего элемента в списке B, деля его на подсписки примерно равной величины.

1. Если N<21, то выбрать i-тый наибольший элемент списка B обычной сортировкой.

2. Если N>21 разделим список на P=N/7 подсписков по 7 элементов в каждом, кроме последнего в котором mod(N,7) элементов.

3. Определим список W из медиан полученных подсписков (четвертых наибольших значений) и найдем в W его медиану M (рекурсивно при помощи данного алгоритма) т.е. (P/2+1)-й наибольший элемент. 

4. С помощью элемента M разобьем список B на два подсписка B' с j элементами большими или равными M, и B" c N-j элементами меньшими M. При j>i повторим процедуру поиска сначала, но только в подсписке B'. При j=i искомый элемент найден, равен M и поиск прекращается. При j < i будем искать (i-j)-тый наибольший элемент в списке B".

 /* алгоритм выбора делением списка почти пополам */
 int search (int *b, int n, int i)
 {
 int findi(int *, int, int);
 int t, m, j, p, s, *w;
 if (n<21) return findi(b, n, i); /* шаг 1 */ p="(int)(n/7);" w="calloc(p+1,sizeof(int));" /* шаги 2 и 3 */ 

for (t="0;" t < p; t++) w[t]="findi(b+7*t," 7, 3); if (n%7!="0)" { w[p]="findi(b+7*p,n%7,(n%7)/2);" p++; } 

m="search(w," p, p/2); free (w); for (j="0," t="0;" t < n; t++) /* шаг 4 */ if (b[t]>=m) j++;
 if (j>i)
 {
 for (p=0, t=0; p < n; t++)
 if (b[t]>=m)
 { b[p]=b[t]; p++; }
 m=search(b, j, i); /* поиск в B" */
 }
 if (j < i)
 {
 for (p=0, t=0; t < n; t++)
 if (b[t] < m) b[p++]=b[t];
 m=search(b, n-j, i-j); /* поиск в B" */
 }
 return m;
 }

Рекурсивная функция search реализует алгоритм выбора i-того наибольшего значения. Для ее вызова можно использовать следующую программу

 #include 
 #include 
 main()
 {
 int search (int *b, int n, int i);
 int *b;
 int l, i, k, t;
 scanf("%d%d",&l,&i);
 printf
 ("\nВыбор %d максимального элемента из %d штук",i,l);
 b=(int *)(calloc(100,sizeof(int)));
 for (k=0; k<100; k++) b[k]="k;" /* заполнение массива */ for (k="1;" k < l/4; k++) { t="b[k];" /* перемешивание */ 

b[k]="b[l-k];" /* массива */ b[l-k]="t;" } k="search(b,l,i);" /* выбор элемента */ 

printf ("\n выбран элемент равный %d\n\n",k); return 0; } 

Используя метод математической индукции, можно доказать, что для функции search требуется выполнить в самом неблагоприятном случае 28*N сравнений.

Действительно, если N<21, то выполнение функции findi потребует сравнений порядка N*(N-1)/2, т.е. меньше чем 28*N. Предположим, что для любого T<N количество сравнений при выполнении функции search не более 28*T и подсчитаем, сколько сравнений потребуется функции search при произвольном значении N. Для поиска медианы в каждом из подсписков функцией findi требуется не более 7*(7-1)/2=21 сравнений, а для формирования массива W в целом не более 21*(N/7)=3*N сравнений. По предположению индукции для поиска медианы в массиве W длины N/7 требуется 28*(N/7)=4*N сравнений. После удаления из B части элементов с помощью медианы в B' (или в B") останется не более N*5/7 элементов, и для удаления ненужных элементов необходимо количество сравнений порядка N. Для поиска в оставшейся части массива (в B' или B") по предположению индукции требуется не более 28*(N*5/7)=20*N сравнений. Таким образом, всего потребуется 3*N+4*N+N+20*N=28*N сравнений, т.е. выдвинутое предположение доказано.