Решение линейных систем с трехдиагональной матрицей
|
|
Страница 1 из 3
Здесь представлены два альтернативных друг другу алгоритма решения линейных систем с трехдиагональной матрицей. Подобные линейные системы возникают при реализации решений параболических или эллиптических уравнений в одномерном случае или в многомерном при покоординатном расщеплении решения.
Первый из этих алгоритмов использует факторизацию системы, называется прогонкой или алгоритмом Томаса и входит во все классические учебники по численным методам. Второй алгоритм, также называемый алгоритмом редукции, использует последовательное бинарное исключение уравнений из системы; он менее известен и более сложен, зато обладает очень высокой устойчивостью и меньшим накоплением погрешности в процессе счета. Трехдиагональная линейная система уравнений может быть записана в виде: ai*ui-1-bi*ui+ci*ui+1+fi=0, где 0<=i<N, a0=cN-1=0, u - искомое решение. Матрица этой системы состоит из главной диагонали (с коэффициентами -bi) и примыкающих к ней сверху и снизу диагоналей (соответственно ci и ai). Прямое (безытерационное) решение этой системы уравнений можно проводить методом ее факторизации (прогонка, или алгоритм Томаса), либо методом последовательного исключения сначала нечетных, затем делящихся на 2, но не на 4, и т.д. уравнений и соответствующего преобразования коэффициентов. Последний метод называется редукцией или бинарным исключением. |