Собственные вектора и значения матриц
Страница 5. Обобщенные и нелинейные проблемы собственных векторов и значений
|
|
Страница 5 из 10
Обобщенные и нелинейные проблемы собственных векторов и значенийМногие пакеты программ для собственных векторов и значений имеют дело также с так называемой обобщенной их проблемой [6]: Ax = lBx,где A и B -- матрицы. Большинство таких проблем в случае невырожденности B могут быть сведены к проблеме (B-1A)x = lx.Часто A и B симметричны, а B положительно определена. Матрица B-1A не является симметричной, но задачу можно свести к задаче на собственные вектора и значения для симметричной матрицы, применяя разложение Холесского B = LLT. Умножая уравнение на L-1, получаем C(LTx) = l(LTx), где C = L-1A(L-1)T.Матрица C является симметричной, ее собственные значения совпадают с собственными значениями первичной задачи, а собственные вектора равны LTx. Эффективным способом получения этой матрицы является решение уравнения YLT = Aотносительно нижней треугольной части матрицы Y. Затем относительно нижней треугольной части симметричной матрицы C решается уравнение: LC = Y.Другой генерализацией стандартной проблемы собственных векторов и значений являются нелинейные относительно собственных значений проблемы, например (Al2 + Bl + C) x = 0.Такая задача сводится к линейной введением дополнительного неизвестного собственного вектора y и разрешения линейной задачи для матрицы (2N x 2N):
(
( | 0 | 1 | )
) | (
( | x | )
) | = | l | (
( | x | )
) | | -A-1C | -A-1B | y | y | | | | | | | | | Этот метод обобщается на полиномы высших степеней относительно l. Полином степени M порождает линейную задачу на собственные значения для матрицы (MN x MN) [7]. |