Квадратный корень по простому модулю

Алгоритм решения уравнения x²=a(mod p), где s - const, p - простое, x - из Z_p.

 1. Вычислить символ Лежандра (a,p)
 (a,p)=-1 - решений нет: a - квадр невычет

 2. Найти случайное b, такое что (b,p)=-1 (b - квадр невычет)
 
 3. Представить p-1 в виде p-1=2s*t, где t - нечетное

 4. Вычислить (a-1)mod p - 
 обратный элемент в кольце Zp
 
 5. Положить c=(bt)(mod p), r=(a(t+1)/2)(mod p)
 
 6. Цикл с i=1 до s-1:
 6.1 Вычислить 
 d=[(r2*a-1)^(2s-i-1)][mod p]
 6.2 Если d=-1(mod p), то r=(r*c)mod p
 6.3 Положить c=(c*c)mod p

 7. Ответ: r, -r. Можно выбрать один из них, например, положительный.

В соответствующих статьях даны алгоритм вычисления обратного элемента в кольце Z_p(т.е обратного элемента по модулю p) и алгоритм возведения в целую степень по модулю.

Общая сложность алгоритма - log⁴(n).

Исходник на Си

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int JACOBI(long a, long n)
{
 int s;
 long a1, b = a, e = 0, m, n1;

 if (a == 0) return 0;
 if (a == 1) return 1;

 while ((b & 1) == 0)
 b >>= 1, e++;
 a1 = b;
 m = n % 8;

 if (!(e & 1)) s = 1;
 else if (m == 1 || m == 7) s = + 1;
 else if (m == 3 || m == 5) s = - 1;
 if (n % 4 == 3 && a1 % 4 == 3) s = - s;
 if (a1 != 1) n1 = n % a1; else n1 = 1;

 return s * JACOBI(n1, a1);
}

void extended_euclid(long a, long b, long *x,
 long *y, long *d)
/* вычисляет a * *x + b * *y = gcd(a, b) = *d */
{
 long q, r, x1, x2, y1, y2;
 if (b == 0) {
 *d = a, *x = 1, *y = 0;
 return;
 }

 x2 = 1, x1 = 0, y2 = 0, y1 = 1;

 #ifdef DEBUG
 printf("-------------------\n");
 printf("q r x y a b ");
 printf("x2 x1 y2 y1\n");
 printf("-------------------\n");
 #endif

 while (b > 0) {
 q = a / b, r = a - q * b;
 *x = x2 - q * x1, *y = y2 - q * y1;
 a = b, b = r;
 x2 = x1, x1 = *x, y2 = y1, y1 = *y;

 #ifdef DEBUG
 printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", q, r, *x, *y);
 printf("%4ld %4ld %4ld %4ld ", a, b, x2, x1);
 printf("%4ld %4ld\n", y2, y1);
 #endif

 }

 *d = a, *x = x2, *y = y2;

 #ifdef DEBUG
 printf("-------------------\n");
 #endif 
}

long inverse(long a, long b)
/* возвращает инверсию модуля b, если он существует, иначе 0 */
{
 long d, x, y;
 extended_euclid(a, b, &x, &y, &d);
 if (d == 1) return x;

 return 0;
}

long exp_mod(long x, long b, long n)
/* возвращает x ^ b mod n */
{
 long a = 1, s = x;

 while (b != 0) {
 if (b & 1) a = (a * s) % n;
 b >>= 1;
 if (b != 0) s = (s * s) % n;
 }

 return a;
}

long square_root_mod(long a, long p)
/* возвращает квадратный корень модуля */
{
 long ai, b, c, d, e, i, r, s = 0, t = p - 1;
 /* это квадратичный невычет */
 if (JACOBI(a, p) == - 1) return 0;
 /* ищем квадратичный невычет */
 do
 do b = rand() % p; while (b == 0);
 while (JACOBI(b, p) != - 1);
 /* пишем p - 1 = 2 ^ s * t для t */
 while (!(t & 1)) s++, t >>= 1;

 ai = inverse(a, p);
 c = exp_mod(b, t, p);
 r = exp_mod(a, (t + 1) / 2, p);

 for (i = 1; i < s; i++) {
 e = exp_mod(2, s - i - 1, p);
 d = exp_mod((r * r % p) * ai % p, e, p);
 if (d == p - 1) r = r * c % p;
 c = c * c % p;
 }

 return r;
}

int main(void)
{
 long a, p;
 printf("x ^ 2 = a mod p\n");

 // бесконечный цикл
 for (;;) {
 // вывод
 printf("a or 0 to quit = ");
 scanf("%ld", &a);
 if (a == 0) break;
 printf("p = ");
 scanf("%ld", &p);
 printf("square_root_mod(%ld, %ld) = %ld\n", a, p, square_root_mod(a, p));
 }

 return 0;
}